高校数学の落とし穴（基礎編）第３回

高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

 

★★☆　《レベル２》

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問　不等式 |x|－2|x+4|≧1 を解け。

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＜解答または解答方針＞

【ＮＧ１】：のろちゃん

まずは場合分けだけでも。絶対値の外し方 |A|= A ( A ≧ 0 ), －A ( A < 0 ) を考えると、|x|、|x+4| についてそれ

ぞれ２通りあるから、全部で２×２の４通りの場合わけが必要！？余分な気がする・・

（ⅰ）x ≧ 0 かつ x+4 ≧ 0 のとき　（ⅱ）x < 0 かつ x+4 < 0 のとき

（ⅲ）x ≧ 0 かつ x+4 < 0 のとき　（ⅳ）x < 0 かつ x+4 ≧ 0 のとき

 

【ＮＧ２】：こたろう君

|x+4|、|x| がそれぞれ 0 になるのは x = －4、x = 0 のときである。

ここで実数全体をこの２数「－4」と「0」により３分割されるから、場合わけは

（ⅰ）x < －4　（ⅱ）－4 ≦ x ≦ 0　（ⅲ）0 < x  の３つだけを考えればよい。

すなわち、

（ⅰ）x < －4 のとき －x+2(x+4) ≧ 1 ⇔ x ≧ －7

（ⅱ）－4 ≦ x ≦ 0 のとき －x－2(x+4) ≧ 1 ⇔ －9 ≧ 3x ⇔ －3 ≧ x

（ⅲ）0 < xのとき x－2(x+4) ≧ 1 ⇔ －9 ≧ x

以上（ⅰ）～（ⅲ）より、－9 ≧ x、x ≧ －7、－3 ≧ x これは答えなんだろうか？？

 

【ベストアンサー】：もんじゅ先生

各場合分けごとに、前提となる範囲との共通範囲を求め忘れないようにして・・

（ⅰ）x < －4 のとき －x+2(x+4) ≧ 1 ⇔ x ≧ －7

これと x < －4 の共通範囲は －7 ≦ x < －4 ・・・①

（ⅱ）－4 ≦ x ≦ 0 のとき －x－2(x+4) ≧ 1 ⇔ －9 ≧ 3x ⇔ －3 ≧ x

これと －4 ≦ x ≦ 0 の共通範囲は －4 ≦ x ≦ －3 ・・・②

（ⅲ）0 < x のとき x－2(x+4) ≧ 1 ⇔ －9 ≧ x

これと 0 < x の共通範囲は存在しない。

以上より求めるものは①と②の和集合だから、－7 ≦ x ≦ －3《答》

 

＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

1「効率の良い場合分け」、2「各場合分けごとに前提になる範囲との共通範囲」、3「各場合分けが俳反事象（同時に起こることがない）のときは最後に和集合（共通部分ではない）を求める」が大切です。