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高校数学の落とし穴(基礎編)第3回

2015年7月24日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 不等式 |x|-2|x+4|≧1 を解け。

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<解答または解答方針>

【NG1】:のろちゃん

まずは場合分けだけでも。絶対値の外し方 |A|= A ( A ≧ 0 ), -A ( A < 0 ) を考えると、|x|、|x+4| についてそれ

ぞれ2通りあるから、全部で2×2の4通りの場合わけが必要!?余分な気がする・・

(ⅰ)x ≧ 0 かつ x+4 ≧ 0 のとき (ⅱ)x < 0 かつ x+4 < 0 のとき

(ⅲ)x ≧ 0 かつ x+4 < 0 のとき (ⅳ)x < 0 かつ x+4 ≧ 0 のとき

 

【NG2】:こたろう君

|x+4|、|x| がそれぞれ 0 になるのは x = -4、x = 0 のときである。

ここで実数全体をこの2数「-4」と「0」により3分割されるから、場合わけは

(ⅰ)x < -4 (ⅱ)-4 ≦ x ≦ 0 (ⅲ)0 < x  の3つだけを考えればよい。

すなわち、

(ⅰ)x < -4 のとき -x+2(x+4) ≧ 1 ⇔ x ≧ -7

(ⅱ)-4 ≦ x ≦ 0 のとき -x-2(x+4) ≧ 1 ⇔ -9 ≧ 3x ⇔ -3 ≧ x

(ⅲ)0 < xのとき x-2(x+4) ≧ 1 ⇔ -9 ≧ x

以上(ⅰ)~(ⅲ)より、-9 ≧ x、x ≧ -7、-3 ≧ x これは答えなんだろうか??

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

各場合分けごとに、前提となる範囲との共通範囲を求め忘れないようにして・・

(ⅰ)x < -4 のとき -x+2(x+4) ≧ 1 ⇔ x ≧ -7

これと x < -4 の共通範囲は -7 ≦ x < -4 ・・・①

(ⅱ)-4 ≦ x ≦ 0 のとき -x-2(x+4) ≧ 1 ⇔ -9 ≧ 3x ⇔ -3 ≧ x

これと -4 ≦ x ≦ 0 の共通範囲は -4 ≦ x ≦ -3 ・・・②

(ⅲ)0 < x のとき x-2(x+4) ≧ 1 ⇔ -9 ≧ x

これと 0 < x の共通範囲は存在しない。

以上より求めるものは①と②の和集合だから、-7 ≦ x ≦ -3《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

1「効率の良い場合分け」、2「各場合分けごとに前提になる範囲との共通範囲」、3「各場合分けが俳反事象(同時に起こることがない)のときは最後に和集合(共通部分ではない)を求める」が大切です。

 

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