高校数学の落とし穴（基礎編）第５回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

★★☆　《レベル２》

*************************************************************************

問　整数xが不等式 x/2 + a < 3－x < 4x +1 を満たす解がちょうど３個と

なるように、定数aの値の範囲を定めよ。

*************************************************************************

＜解答または解答方針＞

【ＮＧ１】：のろちゃん

x/2 +a < 3－x から x < (6－2a)/3 ・・・①

3－x < 4x +1 から 2/5 < x ・・・②

②式で x が 2/5 より大きいといっているから、①式の (6－2a)/3 が 4 より小さければいいような気がする。

(6－2a)/3 < 4 から －3 < a が答え？

【ＮＧ２】：こたろう君

まず（与式）⇔（①式かつ②式）だから

2/5 < x < (6－2a)/3 ・・・③

を得る。この③式で整数解が３個存在するようにするためには、右側部分の (6－2a)/3 が 3 ～ 4 の範囲にあればよい。

したがって、3 < (6－2a)/3 < 4 を解けば良い？

【ベストアンサー】：もんじゅ先生

(6－2a)/3 が 3 と 4 の間にあるという見方が少々あいまい。注目すべきは、③式の右側の記号は「≦」ではなく「<」であること。キーワードとして「≦」が「含む」、「<」が「含まない」であることの違いをしっかり認識することになる。

(6－2a)/3 = 4 のとき、③式では

2/5 < x < 4

となり、4 が含まれない（整数解が３個存在する）。

したがって求めるものは、

3 < (6－2a)/3 ≦ 4 ・・・④

⇔ －3 ≦  a < －3/2 《答》

＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

③式の整数解が３個存在するために、④式の右側の記号に「=」は要らないと勘違いしやすい。④式は、③式の状態（「≦」「<」のどちらを使っているか）とセットで考えていかなければなりません。

仮に、③式が 2/5 < x ≦ (6－2a)/3 であれば、

④式にあたる式は 3 ≦ (6－2a)/3 < 4 でなければなりません。