高校数学の落とし穴（基礎編）第９回

高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

 

★☆☆　《レベル１》

*************************************************************************

問　f(x) = x^2 － mx + m^2 － 6m について、方程式 f(x) = 0 が正の解と負の解を

持つようなmの値の範囲を求めよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

*************************************************************************

 

＜解答または解答方針＞

【ＮＧ】：のろちゃん

方程式 f(x) = 0 の判別式をDとおくと D > 0 かつ f(0) < 0 だから

D=m^2 － 4( m^2 － 6m ) > 0より m(m－8 )> 0 ⇔ 0 < m < 8 ・・・①

f(0) = m^2 － 6m < 0 より m(m－6) < 0 ⇔ 0 < m < 6 ・・・②

よって、①かつ②の範囲は 0 < m < 6 である。

 

【ベストアンサー】：こたろう君

のろちゃん、ちょっと残念！少し説明不足だし、余計な事もしていると思うよ。

「 y = f(x) のグラフは下に凸の放物線」だから、f(0) < 0 であればよい。

（ y = f(x) のグラフはx軸と負の範囲で１回、正の範囲で１回交わる。）

よって、f(0) = m^2 － 6m < 0 から m(m－6) < 0 ⇔ 0 < m < 6 《答》

 

【・・・】：もんじゅ先生

出番無しです。

 

＞＞＞　一言アドバイ　＜＜＜

（軸がy軸に平行で）下に凸の放物線の増減を考えると、+∞から頂点まで減少すると、こんどは頂点から+∞まで増加します。よって、その過程でyが負の値をとるような場合、グラフはx軸と必ず２回交わります。