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高校数学の落とし穴(基礎編)第10回

2015年10月9日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 f(x) = x^2 - mx + m^2 - 6m について、方程式 f(x) = 0 が異なる2つの正の

解を持つようなmの値の範囲を求めよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

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<解答または解答方針>

【NG】:のろちゃん

方程式 f(x) = 0 の判別式をDとおくと D > 0 かつ f(0) > 0 だから

D=m^2 - 4( m^2 - 6m ) > 0より m(m-8 )> 0 ⇔ 0 < m < 8 ・・・①

f(0) = m^2 - 6m > 0 より m(m-6) > 0 ⇔ m < 0 ,6 < m ・・・②

よって、①かつ②の範囲は 6 < m < 8 である。

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん、それだと減点されてほとんど点数は無いと思うよ!

2つ穴があります(以下「 」の箇所を忘れずに!)

まず、「 y = f(x) のグラフは下に凸の放物線」であることより、x軸と異なる2点で交わる

と同時に、「軸 x = m / 2 の位置が正」かつ、端点の値が f(0) > 0 でなければなりません。

これにより方程式 f(x) = 0 の異なる2つの解が正となります。

(ⅰ)判別式 D > 0 から 0 < m < 8 ・・・①

(ⅱ)軸の条件 m / 2 > 0 から 0 < m ・・・②

(ⅲ)端点の条件 f(0) > 0 から m < 0 ,6 < m ・・・③

よって、①~③の共通範囲は 6 < m < 8 《答》

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

こたろう君は解き慣れているね。それでは別解を紹介します。

方程式 f(x) = 0 について、

判別式をDとおくと D > 0 から 0 < m < 8 ・・・①

また、正の解をα、βとおくとα > 0 、β > 0 より

α+β > 0 、αβ > 0

これに解と係数の関係から α+β = m 、αβ = m^2 - 6m を代入すると、

α+β = m > 0 ・・・②

αβ = m^2 - 6m > 0 から m < 0 ,6 < m ・・・③

よって、①~③の共通範囲は 6 < m < 8 《答》

 

>>> 一言アドバイ <<<

2次方程式の解の正(または負)について扱うときは上の別解が楽です(もしもx^2の係数

が実数aなどの文字である場合は特に有効です)。

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