大学受験なら東京都渋谷区の予備校「aps」へ!合格エンジンつけます。

平日・土曜・祝日/13:00-21:00 日曜/13:00-18:00

0120-428-852

お問い合わせ

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

高校数学の落とし穴(基礎編)第12回

2015年10月23日

 黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★☆☆ 《レベル1》

*************************************************************************

問 0°≦θ≦ 180° とするとき次の値を求めよ。

(1)sinθ= 3 / 4 のときの cosθ

(2)tanθ= -√2 のときの cosθ

*************************************************************************

 

<解答または解答方針>

※ 記号について

「^」については、例えば、x^2 を「xの2乗」とする。

「√」については、例えば、√4 = 2、√(4-2) = √2、√4-2 = 2-2 = 0 とする。

【前半正解】:のろちゃん

前半(1)を解きます。三角比の「相互関係」から

cosθ= ±√{ 1-(sinθ)^2 } = ±√{ 1-(3 / 4)^2 } = ±√7 / 4《答》

 

【後半正解】:こたろう君

後半(2)を解きます。三角比の「相互関係」

 (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 の両辺を (cosθ)^2 で割ると、

(tanθ)^2 + 1 = 1 / (cosθ)^2 ⇔ (cosθ)^2 = 1 / { (tanθ)^2 + 1 }

これに tanθ= -√2 を代入して

(cosθ)^2 = 1 / { (-√2)^2 + 1 } = 1 / 3  ∴ cosθ = ±1 / √3

ここで、0°≦θ≦ 180° かつ tanθ<0 であることに注意すると、θは

第Ⅱ象限の角度 90°<θ< 180° より cosθ<0 である。 ∴ cosθ = -1 / √3 《答》

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

(1)中心が原点、半径が4の円の内部で第Ⅰ象限に、斜辺(半径)が4、高さが3、底辺(>0) が

x軸上にあるような直角三角形を描く。

「三平方の定理」より、(底辺)= √(4^2-3^2) = √7

x軸の正の部分と斜辺のなす角がθよりcosθ =(底辺)/(斜辺)=√7 / 4 《答》

(2)(1)と同様に解く。

tanθ = (高さ)/(底辺)= √2 / -1 = -√2 / 1 と2通りに見て、0°≦θ≦ 180° を満たすものが

(高さ)= √2、(底辺)= -1 でθが第Ⅱ象限の場合である。

(斜辺)= √{ (-1)^2 + (√2)^2 } = √3 より cosθ =(底辺)/(斜辺)= -1 / √3 《答》

 

>>> 一言アドバイ <<<

ベストアンサーでは図を省略しています。x軸上の「底辺」は正の部分で「正」、負の部分で「負」とします。「高さ」に関しても同様に工夫します。「斜辺」は半径なので常に「正」とします。図を描くことにより計算が楽になり、符号のミスの防止にもなります。

 

個別説明会のお申し込み・お問い合わせ

電話でのお問い合わせ

平日・土曜・祝日/13:00-21:00 日曜/13:00-18:00

0120-428-852