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高校数学の落とし穴(基礎編)第13回

2015年10月30日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

*************************************************************************

問 0°≦θ≦ 90° のとき y = (sinθ)^2 - √3cosθ の最大値とそのときのθ

の値を求めよ。

※ (sinθ)^2 は「sinθの2乗」です。

*************************************************************************

 

<解答または解答方針>

※ 記号について

「√」については、例えば、√(4-2)/2 = √2/2、√{(4-2)/2}=√{2/2}= 1 とする。

【NG1】:のろちゃん

(sinθ)^2 = 1 - (cosθ)^2 だから、与式は

y ={1 - (cosθ)^2}-√3cosθ

= -(cosθ)^2 -√3cosθ + 1

です(後はちょっと・・・)。

 

【NG2】:こたろう君

のろちゃん、もっと出来るでしょう。

cosθ = t とおけば、与式は

y = t^2 -√3t + 1

 = -( t +√3/2 )^2 + 7/4 ≦ 7/4 これが最大値!?

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

みなさん、関数には弱いですね。

cosθ = t とおけば、0°≦θ≦ 90° だから 0 ≦ t ≦ 1 ・・・① に注意する。

与式は

y = t^2 -√3t + 1

 = -( t +√3/2 )^2 + 7/4 = f(x) ・・・② とおく。

放物線 y=f(x) は、軸の方程式が t = -√3/2( = -0.86… )で、上に凸のグラフだから、

-√3/2 ≦ t の範囲で減少関数(xが増加するとyは減少する)である。

よって、①の範囲も減少関数であるから、f(1) ≦ f(x) ≦ f(0) である。

したがって、最大値は x = 0 のとき f(0) = 1 《答》

このときのθの値は、cosθ = 0 から、0°≦θ≦ 90°の範囲で θ = 90°《答》

 

>>> 一言アドバイ <<<

最大・最小問題において、

(ⅰ)自分で置いた文字は、必ず定義すること。

(ⅱ)関数の増減および定義域について、説明またはグラフ(概形または増減表)を書く。

 

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