高校数学の落とし穴（基礎編）第１３回

高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

 

★★☆　《レベル２》

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問　0°≦θ≦ 90° のとき y = (sinθ)^2 － √3cosθ の最大値とそのときのθ

の値を求めよ。

※ (sinθ)^2 は「sinθの2乗」です。

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＜解答または解答方針＞

※ 記号について

「√」については、例えば、√(4－2)/2 = √2/2、√｛(4－2)/2｝=√｛2/2｝= 1 とする。

【ＮＧ１】：のろちゃん

(sinθ)^2 = 1 － (cosθ)^2 だから、与式は

y =｛1 － (cosθ)^2｝－√3cosθ

= －(cosθ)^2 －√3cosθ + 1

です（後はちょっと・・・）。

 

【ＮＧ２】：こたろう君

のろちゃん、もっと出来るでしょう。

cosθ = t とおけば、与式は

y = t^2 －√3t + 1

 = －( t +√3/2 )^2 + 7/4 ≦ 7/4 これが最大値！？

 

【ベストアンサー】：もんじゅ先生

みなさん、関数には弱いですね。

cosθ = t とおけば、0°≦θ≦ 90° だから 0 ≦ t ≦ 1 ・・・① に注意する。

与式は

y = t^2 －√3t + 1

 = －( t +√3/2 )^2 + 7/4 =　f(x) ・・・② とおく。

放物線 y=f(x) は、軸の方程式が t = －√3/2（ = －0.86… ）で、上に凸のグラフだから、

－√3/2 ≦ t の範囲で減少関数（xが増加するとyは減少する）である。

よって、①の範囲も減少関数であるから、f(1) ≦ f(x) ≦ f(0) である。

したがって、最大値は x = 0 のとき f(0) = 1 《答》

このときのθの値は、cosθ = 0 から、0°≦θ≦ 90°の範囲で θ = 90°《答》

 

＞＞＞　一言アドバイ　＜＜＜

最大・最小問題において、

（ⅰ）自分で置いた文字は、必ず定義すること。

（ⅱ）関数の増減および定義域について、説明またはグラフ（概形または増減表）を書く。