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高校数学の落とし穴(基礎編)第14回

2015年11月6日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 △ABCにおいて、A = 135°、B = 30°、a = 4、b = 2√2 のとき、sinCの

値を求めよ。

※「√」については、例えば √4 = 2、√(4-2) = √2、√4-2 = 2-2 = 0 とする。

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<解答または解答方針>

※ a^2 は「aの2乗」です。

【NG】:のろちゃん

角が C = 180°- (135°+ 30°) = 15° だから直接sinCは求められない。

「正弦定理」だけ覚えてるから、△ABCの外接円の半径をR( >0 )とおくと

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

c / sinC = a / sinA の部分から、c / sinC = 4 / sin135°= 4 / (1/√2) = 4√2

( c / sinC = b / sinB から、c / sinC = 2√2 / sin30°= 2√2 / (1/2) = 4√2 でもOK )

残念、辺cが分かれば・・。

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん、「余弦定理」を覚えてないのか。

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA より、

      4^2 = (2√2)^2 + c^2 - 2・2√2・c cos135°   ← cos135°= -1 / √2

      ⇔ 16 = 8 + c^2 + 4c

         ⇔ c^2 + 4c - 8 = 0     c > 0 より、c = -2 + 2√3

( b^2 = c^2 + a^2- 2ca cosA からでもOKだが、最後 c^2 - 4√3c + 8 = 0 から

A > B > C で a > b > c に注意して c = 2√3 - 2 を得る。c = 2√3 + 2 は不適。)

正弦定理より、(2√3 - 2) / sinC = 2√2 / sin30°

∴ sinC = (2√3 - 2)・1 / 2・1 / (2√2) = (√6 - √2) / 4《答》

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

こたろう君の余弦定理は第2余弦定理だな。「第1余弦定理」を使うと早いよ。すなわち、

     c = b cosA + a cosB より、

                   c = 2√2 cos135°+ 4 cos30°

      = 2√2(-1 / √2) + 4(√3 / 2) = -2 + 2√3

正弦定理より、(2√3 - 2) / sinC = 2√2 / sin30°

∴ sinC = (2√3 - 2)・1 / 2・1 / (2√2) = (√6 - √2) / 4《答》

 

>>> 一言アドバイ <<<

「第1余弦定理」は2角挟辺に注目するが、その2角が有名角で、挟辺(求めたい長さ)の対角が有名角ではないときに有効である。

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