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高校数学の落とし穴(基礎編)第16回

2015年11月20日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★☆☆ 《レベル1》

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問 全体集合 U ={ x | 1 ≦ x ≦ 10 ,  xは整数 }の部分集合をA、Bとする。

A∩B ={ 4 , 6 , 9 }、¬A∩¬B ={ 3 , 5 , 8 }、A∩¬B ={ 2 , 10 }とするとき、

A∪Bの集合を求めよ。

※ ¬A は「Aの補集合」です。

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<解答または解答方針>

【NG】:のろちゃん

「∩」は「かつ」、「∪」は「または」を表す記号でしょ。

AとBの共通部分が4 , 6 , 9であり、AでもBでもないものが3 , 5 , 8であり、

AからBとの共通部分を除くと2 , 10であるから、

A ={ 2 , 10 , 4 , 6 , 9 }とすぐ分かるけど・・。

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん、Aなんか求めたって意味ないよ。

AでもBでもないものではないものが、AまたはB(AとBの和集合)に等しい。

よって、整数1~10で3 , 5 , 8以外を考えて

A∪B ={ 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 9 , 10 }《答》

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

ド・モルガンの法則より、¬(A∪B) = ¬A∩¬B ={ 3 , 5 , 8 }である。

求めるものは、

A∪B = U - ¬(A∪B)

       ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }-{ 3 , 5 , 8 }

       ={ 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 9 , 10 }《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

・ド・モルガンの法則は、便利なので覚えましょう。

(ⅰ)¬(A∪B) = ¬A∩¬B   (ⅱ)¬(A∩B) = ¬A∪¬B

・和集合(AまたはB)については、

                                    A∪B = A + B - A∩B

    が成り立つことは有名ですが、ベン図で簡単に確認出来ます。

    本問についてもベン図で考えることはとても有効です(安心です)。

 

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