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高校数学の落とし穴(基礎編)第18回

2015年12月4日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 生徒100人に2問解かせたところ、問1、問2の正解はそれぞれ70人、

55人であった。このとき、2問とも正解の人、不正解の人のとり得る人数の範囲

をそれぞれ答えよ。

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<解答または解答方針>

※ ¬A は「Aの補集合」とします。

 

【NG】:のろちゃん

まず記号に置き換える。生徒全体の数 n(U) = 100、問1の正解者の数 n(A) = 70、

問2の正解者の数を n(B) = 55 として、2問とも正解の人数 n(A∩B) および、

2問とも不正解の人の集合 n(¬A∩¬B) つまり n(¬(A∪B)) にいて考えればよいが・・。

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん、式だけじゃ分かりにくいので、“ベン図”をイメージしよう。

全体集合 n(U) = 100 の長方形の中に、2円 n(A) = 70、n(B) = 55 がある。

この2円は、n(A) + n(B) = 125 > 100 = n(U) より、必ず重なっているからそれに注目して 、

2問とも正解の人数 n(A∩B) や2問とも不正解の人数 n(¬A∩¬B) の値の範囲を調べる。

(ⅰ)n(A∩B) について

n(A)⊃n(B) のとき最大で n(A∩B) = 55

n(A∪B) = n(U) のとき最小でn(A∩B) = 125 - 100 = 25

※ n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) の関係から

n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A∪B) = 70 + 50 - 100 = 25 でも可。

したがって、25 ≦ n(A∩B) ≦ 55《答》

(ⅱ)n(¬A∩¬B) つまり n(¬(A∪B)) にいて

n(A)⊃n(B) のとき最大で

n(¬A∩¬B) = n(¬(A∪B)) = n(U) - n(A) = 100 - 70 = 30

n(A∪B) = n(U) のとき最小で

n(¬A∩¬B) = n(¬(A∪B)) = n(U) - n(A∪B) = 100 -100 = 0

したがって、0 ≦ n(¬A∩¬B ) ≦ 30《答》

 

【・・・】:もんじゅ先生

出番無しです。

 

>>> 一言アドバイス <<<

数直線上に人数の目盛0~100までをイメージしてもよい。“重なり具合”については

Aが目盛0~70に対して、Bが目盛0~55のときと、目盛45~100のときに注目しよう。

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