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解答・解説

※ ￢A は「Aの補集合」とします。



【ＮＧ】：のろちゃん

まず記号に置き換える。生徒全体の数 n(U) = 100、問１の正解者の数 n(A) = 70、

問２の正解者の数を n(B) = 55 として、２問とも正解の人数 n(A∩B) および、

２問とも不正解の人の集合 n(￢A∩￢B) つまり n(￢(A∪B)) にいて考えればよいが・・。



【正解】：こたろう君

のろちゃん、式だけじゃ分かりにくいので、“ベン図”をイメージしよう。

全体集合 n(U) = 100 の長方形の中に、２円 n(A) = 70、n(B) = 55 がある。

この２円は、n(A) + n(B) = 125 > 100 = n(U) より、必ず重なっているからそれに注目して 、

２問とも正解の人数 n(A∩B) や２問とも不正解の人数 n(￢A∩￢B) の値の範囲を調べる。

（ⅰ）n(A∩B) について

n(A)⊃n(B) のとき最大で n(A∩B) = 55

n(A∪B) = n(U) のとき最小でn(A∩B) = 125 － 100 = 25

※ n(A∪B) = n(A) + n(B) － n(A∩B) の関係から

n(A∩B) = n(A) + n(B) － n(A∪B) = 70 + 50 － 100 = 25 でも可。

したがって、25 ≦ n(A∩B) ≦ 55《答》

（ⅱ）n(￢A∩￢B) つまり n(￢(A∪B)) にいて

n(A)⊃n(B) のとき最大で

n(￢A∩￢B) = n(￢(A∪B)) = n(U) － n(A) = 100 － 70 = 30

n(A∪B) = n(U) のとき最小で

n(￢A∩￢B) = n(￢(A∪B)) = n(U) － n(A∪B) = 100 －100 = 0

したがって、0 ≦ n(￢A∩￢B ) ≦ 30《答》



【・・・】：もんじゅ先生

出番無しです。



＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

数直線上に人数の目盛0～100までをイメージしてもよい。“重なり具合”については

Aが目盛0～70に対して、Bが目盛0～55のときと、目盛45～100のときに注目しよう。