高校数学の落とし穴（基礎編）第２０回

高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

 

★☆☆　《レベル１》

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問　x、yは実数とする。

命題「 x > 0 かつ y > 0 ならば、xy > 0 」の逆、裏、対偶を述べ、それぞれの

真偽を答えよ。

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＜解答または解答方針＞

【ＮＧ】：のろちゃん

逆「 xy > 0 ならば、x > 0 かつ y > 0 」は間違い！

裏「 x ≦ 0 または y ≦ 0 ならば、xy ≦ 0 」も正しくない！

対偶「 xy ≦ 0 ならば、x ≦ 0 または y ≦ 0 」は正しい！

 

【正解】：こたろう君

のろちゃん、真か偽を答えないと～。あと偽の場合は反例を挙げないとだめ。

逆「 xy > 0 ならば、x > 0 かつ y > 0 」は偽で、

　　　　　　　　　反例が x = －1、y = －1 である。《答》

裏「 x ≦ 0 または y ≦ 0 ならば、xy ≦ 0 」は偽で、

　　　　　　　　　反例が x = －1、y = －1 である。《答》

対偶「 xy ≦ 0 ならば、x ≦ 0 または y ≦ 0 」は真である。《答》

 

【・・・】：もんじゅ先生

出番無しです。

 

＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

命題 p ⇒ q に対して

q ⇒ p を逆

￢p ⇒ ￢q を裏

￢q ⇒ ￢p を対偶

という。

※ 記号￢A は「Aの補集合（否定）」とします。

 

もとの命題の真偽は、その対偶の真偽と一致する。

逆、裏は命題の真偽と一致するとは限らない。