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高校数学の落とし穴(基礎編)第21回

2016年1月15日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 命題「ある実数xについて、x^2-2x+2 ≦ 0 」の否定をつくり、その真偽を

調べよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

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<解答または解答方針>

※ 記号¬A は「Aの補集合(否定)」とします。

 

【NG1】:のろちゃん

前回やったやつでしょ。

命題 p ⇒ q に対して、逆q ⇒ p 、裏¬p ⇒ ¬q 、対偶 ¬q ⇒ ¬p 、あれ!

否定がない?

 

【NG2】:こたろう君

のろちゃん、この命題は前回と形式が違うよ!

集合A∩B形式の否定なら、ド・モルガンの法則 ¬(A∩B) = ¬A∪¬B とかが使えるな。

A:「 ある実数x 」、B:「 x^2-2x+2 ≦ 0 」としてそれぞれの否定を

¬A:「 すべての実数x 」、¬B:「 x^2-2x+2 > 0 」とつくれるが、あれ!

「 すべての実数x 」または「 x^2-2x+2 > 0 」となる?意味が分からない。

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

まず変数xについての条件p(x)に関して次の2つの命題を考えることが出来ます。

(ⅰ)すべてのxに対してp(x)が成り立つ。

(ⅱ)あるxに対してp(x)が成り立つ。

さらにこのとき、それぞれについての否定をつくると

(ⅲ)(ⅰ)についての否定:あるxに対してp(x)が成り立たない。

(ⅳ)(ⅱ)についての否定:すべてのxに対してp(x)が成り立たない。

本問が(ⅱ)の形式なので、その否定が(ⅳ)となりますから、求める否定は

「すべての実数xについて、x^2-2x+2 ≦ 0 が成り立たない」、すなわち

「すべての実数xについて、x^2-2x+2 > 0 」《答》

また、この真偽については、

x^2-2x+2 > 0 ⇔ (x-1)^2+1 > 0 これは常に成り立つから、真《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

上の(ⅰ)(ⅱ)は記号∀、∃を用いて

(ⅰ)∀x p(x) (ⅱ)∃x p(x) と表せる。それらの否定(ⅲ)(ⅳ)は

(ⅲ)¬(∀x p(x)) = ∃x ¬(p(x)) (ⅳ)¬(∃x p(x)) = ∀x ¬(p(x)) となります。

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