newsロバみみ広場

解答・解説

※ 記号￢A は「Aの補集合（否定）」とします。



【ＮＧ１】：のろちゃん

前回やったやつでしょ。

命題 p ⇒ q に対して、逆q ⇒ p 、裏￢p ⇒ ￢q 、対偶 ￢q ⇒ ￢p 、あれ！

否定がない？



【ＮＧ２】：こたろう君

のろちゃん、この命題は前回と形式が違うよ！

集合A∩B形式の否定なら、ド・モルガンの法則 ￢(A∩B) = ￢A∪￢B とかが使えるな。

A：「 ある実数x 」、B：「 x^2－2x+2 ≦ 0 」としてそれぞれの否定を

￢A：「 すべての実数x 」、￢B：「 x^2－2x+2 > 0 」とつくれるが、あれ！

「 すべての実数x 」または「 x^2－2x+2 > 0 」となる？意味が分からない。



【ベストアンサー】：もんじゅ先生

まず変数xについての条件p(x)に関して次の２つの命題を考えることが出来ます。

（ⅰ）すべてのxに対してp(x)が成り立つ。

（ⅱ）あるxに対してp(x)が成り立つ。

さらにこのとき、それぞれについての否定をつくると

（ⅲ）（ⅰ）についての否定：あるxに対してp(x)が成り立たない。

（ⅳ）（ⅱ）についての否定：すべてのxに対してp(x)が成り立たない。

本問が（ⅱ）の形式なので、その否定が（ⅳ）となりますから、求める否定は

「すべての実数xについて、x^2－2x+2 ≦ 0 が成り立たない」、すなわち

「すべての実数xについて、x^2－2x+2 > 0 」《答》

また、この真偽については、

x^2－2x+2 > 0 ⇔ (x－1)^2+1 > 0 これは常に成り立つから、真《答》



＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

上の（ⅰ）（ⅱ）は記号∀、∃を用いて

（ⅰ）∀x p(x)　（ⅱ）∃x p(x)　と表せる。それらの否定（ⅲ）（ⅳ）は

（ⅲ）￢(∀x p(x)) = ∃x ￢(p(x))　（ⅳ）￢(∃x p(x)) = ∀x ￢(p(x))　となります。