高校数学の落とし穴（基礎編）第２３回

高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

 

★★☆　《レベル２》

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問　√3が無理数ならば、√3 + √5 は無理数である。このことを背理法を用いて

証明せよ。

※ 記号「√」については、例えば、

√4 = 2、√(4－2) = √2、√4－2 = 2－2 = 0 とする。

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＜解答または解答方針＞

※ x^2 は「xの2乗」とします。

 

【ＮＧ１】：のろちゃん

√3 +√5 = r（有理数）と仮定して、

両辺２乗すると 8 + 2√15 = r^2 ⇔  2√15 = r^2－8 ・・・①

（①式の左辺）= 無理数

（①式の右辺）= 有理数

となり矛盾する。

したがって、過程は誤りなので√3 + √5 は無理数である。×《誤答》

 

【ＮＧ２】：こたろう君

√3 +√5 = r（有理数）と仮定する。

√3 = r－√5 この両辺を２乗すると、

3 = r^2－2√5・r + 5 ⇔  2√5・r = r^2 + 2 ⇔  √5 = ( r^2 + 2 ) / 2r ・・・①

（①式の左辺）= 無理数

（①式の右辺）= 有理数

となり矛盾する。

したがって、過程は誤りなので√3 + √5 は無理数である。×《誤答》

 

【ベストアンサー】：もんじゅ先生

√3 +√5 = r（有理数）と仮定する。

√5 = r－√3 この両辺を２乗すると、5 = r^2－2√3・r + 3

⇔  2√3・r = r^2－2 ⇔  √3 = ( r^2－2 ) / 2r

√3が与条件から無理数であり、このことは、r^2－2、2rが有理数より ( r^2－2 ) / 2r が

有理数であることに矛盾する。

したがって、√3 + √5 は無理数である。《答》

 

＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

√3以外、例えば√5などは無理数として扱えないし、無理数じゃないからといって有理数として扱えるわけでもない。与条件を正しく使うためには式変形に工夫が必要です。