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高校数学の落とし穴(基礎編)第23回

2016年1月29日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 √3が無理数ならば、√3 + √5 は無理数である。このことを背理法を用いて

証明せよ。

※ 記号「√」については、例えば、

√4 = 2、√(4-2) = √2、√4-2 = 2-2 = 0 とする。

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<解答または解答方針>

※ x^2 は「xの2乗」とします。

 

【NG1】:のろちゃん

√3 +√5 = r(有理数)と仮定して、

両辺2乗すると 8 + 2√15 = r^2 ⇔  2√15 = r^2-8 ・・・①

(①式の左辺)= 無理数

(①式の右辺)= 有理数

となり矛盾する。

したがって、過程は誤りなので√3 + √5 は無理数である。×《誤答》

 

【NG2】:こたろう君

√3 +√5 = r(有理数)と仮定する。

√3 = r-√5 この両辺を2乗すると、

3 = r^2-2√5・r + 5 ⇔  2√5・r = r^2 + 2 ⇔  √5 = ( r^2 + 2 ) / 2r ・・・①

(①式の左辺)= 無理数

(①式の右辺)= 有理数

となり矛盾する。

したがって、過程は誤りなので√3 + √5 は無理数である。×《誤答》

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

√3 +√5 = r(有理数)と仮定する。

√5 = r-√3 この両辺を2乗すると、5 = r^2-2√3・r + 3

⇔  2√3・r = r^2-2 ⇔  √3 = ( r^2-2 ) / 2r

√3が与条件から無理数であり、このことは、r^2-2、2rが有理数より ( r^2-2 ) / 2r が

有理数であることに矛盾する。

したがって、√3 + √5 は無理数である。《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

√3以外、例えば√5などは無理数として扱えないし、無理数じゃないからといって有理数として扱えるわけでもない。与条件を正しく使うためには式変形に工夫が必要です。

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