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高校数学の落とし穴(基礎編)第29回

2016年4月15日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★★ 《レベル3》

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問 x + y + z = 9 を満たす正の整数組 ( x , y , z ) は全部で何通りあるか。

*************************************************************************

 

<解答または解答方針>

※ 記号:nPr は「順列」、nCr は「組合せ」とします。

 

【NG】:のろちゃん

書き出せば確実だよね。

( x , y , z ) = ( 1 , 1 , 7 ) , ( 1 , 7 , 1 ) , ( 7 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 6 ) , ・・・

ちょっと時間かかるよ~。

 

【ベストアンサー(その①)】:こたろう君

のろちゃん、ストップ、ストップ!

重複組合せの公式があるでしょ。今回は工夫すれば利用できるよ。まず与式を変形して、

 

( x-1 ) + ( y-1 ) + ( z-1 ) = 6

 

これから、0以上の整数組 ( x-1 , y-1 , z-1 ) の数を考えればよい。

したがって、

3H6 = (3+6-1)C6 = 8C2 = 8・7 / 1・2 = 28(通り)《答》

 

【ベストアンサー(その②)】:もんじゅ先生

前回の私の解法をアレンジした方法です。意外に有効です。

まず先に9個の○を書くと、

○○○○○○○○○

その隙間が8ヶ所あることが分かります。

その8ヶ所から2ヶ所を選んで、2本の仕切り||を入れる方法を考えます。

(左の仕切りの左側にある○の数がxの値、2本の仕切りの間にある○の数がyの値、右の仕切りの右側にある○の数がzの値に一致します。)

したがって、

8C2 = 8・7 / 1・2 = 28(通り)《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

ⅰ)正の整数組 ( x , y , z ) を0以上の整数組 ( x-1 , y-1 , z-1 ) にすりかえる方法。

ⅱ)9個の○を先に書いてから、○○○○○○○○○ 隙間8ヶ所に注目する方法。

 

 

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