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高校数学の落とし穴(基礎編)第31回

2016年5月5日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★★ 《レベル3》

*************************************************************************

問 99^10の一万の位から下6桁の部分の数を答えよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

*************************************************************************

 

<解答または解答方針>

※ 記号:Σについて例えば、[ k = 1 → n ]Σk = 1/2{n(n+1)}とします。

また、nCr は「組合せ」とします。

 

【NG1】:のろちゃん

99を10回掛けるのはちょっと無理。99^10の一の位だけなら分かるんだけど~!

 

【NG2】:こたろう君

もしかして二項定理かな。

99^10 = ( 100 - 1 )^10 = 10C10{ 100^10・(-1)^0 }+ 10C9{ 100^9・(-1)^1 }

+ 10C8{ 100^8・(-1)^2 }+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・+ 10C0{ 100^0・(-1)^10 }

これは全部書かないと安心できないな。でもちょっと時間がかかってしまいます。

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

二項定理 ( a + b )^n = [ r = 0 → n ]Σ( nCr・a^n-r・b^r ) をうまく利用するには、

 

99^10 ={ (-1) + ( 10^2 ) }^10

= [ r = 0 → 10 ]Σ{ 10Cr・(-1)^10-r・10^2r }

 

この段階で 10^2r の部分に注目すれば、[ r = 3 → 10 ] の範囲ものは下6桁の部分に

影響を与えないことが分かります。

 

したがって、求めるものは

[ r = 0 → 3 ]Σ{ 10Cr・(-1)^10-r・10^2r }

= 10C2・(-1)^8・10^4

+ 10C1・(-1)^9・10^2

+ 10C0・(-1)^10・10^0

= 450000 - 1000 + 1 = 449001《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

[ r = 0 → 10 ]Σ{ 10Cr・(-1)^r・100^10-r }は間違えではないが、

[ r = 0 → 10 ]Σ{ 10Cr・(-1)^10-r・10^2r }の方が断然扱いやすい(念のため)。

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