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高校数学の落とし穴(基礎編)第34回

2016年6月2日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 箱Aに赤球5個と白球3個、箱Bに赤球4個と白球6個が入っている。Aから

1個とBから2個を取り出すとき、少なくとも赤と白が両方含まれる確率を求めよ。

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<解答または解答方針>

※ 記号:nCr は「組合せ」とします。

 

【NG】:のろちゃん

箱A{ 赤1, 赤2, 赤3, 赤4, 赤5, 白1, 白2, 白3 }の計8個の中から1個を取り出す。

箱B{ 赤1, 赤2, 赤3, 赤4, 白1, 白2, 白3, 白4, 白5, 白6 }の計10個の中から2個を取り出す。

取り出した計3個のうち少なくとも赤と白が両方含まれる組合せは(赤、赤、白)か

(赤、白、白)の場合だけど、、、

取り出す個数が箱Aからの1個と箱Bからの2個なので、

(赤、赤、白)の組合せでも(Aの赤、Bの赤、Bの白)と(Bの赤、Bの赤、Aの白)

では計算方法が違ってくるから大変だ。

(赤、白、白)についても同じく大変だ。

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん大げさだな!ここは効率の良い方法「1-余事象の確率」の練習だよ。

(本当に大変なときはのろちゃんのようにまともに解いちゃいけない。)

まず余事象の確率(少なくとも赤と白が両方含まれない確率)を考えます。

(ⅰ)3個とも赤である確率は

( 5C1 / 8C1 ) × ( 4C2 / 10C2 ) = ( 5 / 8 ) × ( 6 / 45 ) = 1 / 12

(ⅱ)3個とも白である確率は

( 3C1 / 8C1 ) × ( 6C2 / 10C2 ) = ( 3 / 8 ) × ( 15 / 45 ) = 1 / 8

したがって求める確率は

1 - ((ⅰ)の確率 +(ⅱ)の確率 )

= 1 - ( 1 / 12 + 1 / 8 ) = 19 / 24《答》

 

【・・・】:もんじゅ先生

出番無しです。

 

>>> 一言アドバイス <<<

ⅰ)取り出した3個が、3個とも赤である場合と、3個とも白である場合は互いに俳反事象です(同時に起こりえない)。

ⅱ)「少なくとも○○が起こる確率」=「全事象が起こる確率」-「○○が起きない確率」

 

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