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高校数学の落とし穴(基礎編)第35回

2016年6月9日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 a > 0, b > 0 のとき、つぎの不等式を証明せよ。

√{ ( a^2 + b^2 ) / 2 } ≧ ( a + b ) / 2

 

※ 記号について

「^」については、例えば、x^2 を「xの2乗」とする。

「√」については、例えば、√4 = 2、√(4-2) = √2、√4-2 = 2-2 = 0 とする。

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<解答または解答方針>

【NG】:のろちゃん

(与式)⇔ ( a^2 + b^2 ) / 2 ≧ ( a + b )^2 / 4  ・・・(*)

    ⇔ ( 2a^2 + 2b^2 ) / 4 - ( a^2 + 2ab + b^2 ) / 4 ≧ 0

    ⇔ ( a^2 - 2ab + b^2 ) / 4 ≧ 0

    ⇔ ( a-b )^2 ≧ 0

めずしく式変形が出来たんだけど、これって証明になってるのかな~?

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん、正しい式であることが前提の同値変形は駄目だよ。

それに第一行目(*)の「⇔」は成り立たないからね!

(左辺) - (右辺) が0以上になることを示したいが、まずは

(左辺)^2 - (右辺)^2 が0以上になることを示す。すなわち、

[ √{ ( a^2 + b^2 ) / 2 } ]^2 - [ ( a + b ) / 2 ]^2

= ( a^2 + b^2 ) / 2 - ( a^2 + 2ab + b^2 ) / 4

= ( a^2 - 2ab + b^2 ) / 4

= ( a-b )^2 / 4 ≧ 0

∴ [ √{ ( a^2 + b^2 ) / 2 } ]^2 ≧ [ ( a + b ) / 2 ]^2

ここで a > 0, b > 0 より、√{ ( a^2 + b^2 ) / 2 } > 0, ( a + b ) / 2 > 0 であるから、

√{ ( a^2 + b^2 ) / 2 } ≧ ( a + b ) / 2 である。

等号が成り立つのは、a = b のときである。《証明終り》

 

【・・・】:もんじゅ先生

出番無しです。

 

>>> 一言アドバイス <<<

(*)に注目すると、A ≧ B ⇔ A^2 ≧ B^2 という形式ですが、これは成立しません。

A ≧ B ⇔ ( A^2 ≧ B^2 ) かつ ( A > 0 かつ B > 0 ) であることを理解していないと、

正しい証明ができません。

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