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高校数学の落とし穴(基礎編)第36回

2016年6月23日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 2 - i が3次方程式 x^3 + ax + b = 0 の解であるとき、実数a , bを求めよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

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<解答または解答方針>

【正解】:のろちゃん

2 - i を方程式に代入できるから、

( 2 - i )^ 3 + a( 2 - i ) + b = 0

⇔ 2^3 - 3・2^2・i + 3・2・i^2 - i^3 + 2a - ai + b = 0

⇔ 8 - 12i - 6 + i + 2a - ai + b = 0

⇔ ( -a - 11 )i + 2a + b + 2 = 0

これより、

-a - 11 = 0 かつ 2a + b + 2 = 0 が成り立つ。

∴ a = -11 , b = 20《答》

 

【正解】:こたろう君

2 - i と共役な解が 2 + i である。残りの解をαとおく。解と係数の関係より、

( 2 - i ) + ( 2 + i ) + α = 0 ・・・①

( 2 - i )( 2 + i ) + ( 2 + i )α + α( 2 - i ) = a ・・・②

( 2 - i )( 2 + i )α = -b ・・・③

が成り立つ。

① ⇔ α = -4 これを②、③に代入して連立して解くと a = -11 , b = 20《答》

 

【正解】:もんじゅ先生

2 - i と共役な解が 2 + i であるから x = 2 ± i ⇔ x^2 - 4x + 5 = 0

因数定理より、x^3 + ax + b は x^2 - 4x + 5 を因数にもつので、

x^3 + ax + b = ( x^2 - 4x + 5 )( x + p ) ( pは実数 ) とおける。

x^3 + ax + b = x^3 + ( -4 + p )x^2 + ( 5 - 4p )x + 5p

これより、

0 = -4 + p かつ a = 5 - 4p かつ b = 5p が成り立つ。

∴ p = 4 , a = -11 , b = 20《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

3次方程式の解と係数の関係について確認しておこう。

a ≠ 0 のとき ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 の解をα,β,γとおくと

α+β+γ = -b/a , αβ+βγ+γα = c/a , αβγ = -d/a

が成り立つ。

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