newsロバみみ広場

解答・解説

【正解】：のろちゃん

2 － i を方程式に代入できるから、

( 2 － i )^ 3 + a( 2 － i ) + b = 0

⇔ 2^3 － 3・2^2・i + 3・2・i^2 － i^3 + 2a － ai + b = 0

⇔ 8 － 12i － 6 + i + 2a － ai + b = 0

⇔ ( －a － 11 )i + 2a + b + 2 = 0

これより、

－a － 11 = 0 かつ 2a + b + 2 = 0　が成り立つ。

∴ a = －11 , b = 20《答》



【正解】：こたろう君

2 － i と共役な解が 2 + i である。残りの解をαとおく。解と係数の関係より、

( 2 － i ) + ( 2 + i ) + α = 0 ・・・①

( 2 － i )( 2 + i ) + ( 2 + i )α + α( 2 － i ) = a ・・・②

( 2 － i )( 2 + i )α = －b ・・・③

が成り立つ。

① ⇔ α = －4　これを②、③に代入して連立して解くと a = －11 , b = 20《答》



【正解】：もんじゅ先生

2 － i と共役な解が 2 + i であるから x = 2 ± i ⇔ x^2 － 4x + 5 = 0

因数定理より、x^3 + ax + b は x^2 － 4x + 5 を因数にもつので、

x^3 + ax + b = ( x^2 － 4x + 5 )( x + p ) ( pは実数 ) とおける。

x^3 + ax + b = x^3 + ( －4 + p )x^2 + ( 5 － 4p )x + 5p

これより、

0 = －4 + p かつ a = 5 － 4p かつ b = 5p が成り立つ。

∴ p = 4 , a = －11 , b = 20《答》



＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

3次方程式の解と係数の関係について確認しておこう。

a ≠ 0 のとき ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 の解をα,β,γとおくと

α+β+γ = －b/a , αβ+βγ+γα = c/a , αβγ = －d/a

が成り立つ。