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高校数学の落とし穴(基礎編)第37回

2016年6月30日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★★ 《レベル3》

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問 - 1 + i が4次方程式 x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 = 0 の解であるとき、

実数a , bを求めよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

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<解答または解答方針>

【NG1】:のろちゃん

前回と同様に - 1 + i を方程式に代入できるから、

( - 1 + i )^4 + a( - 1 + i )^3 + 3( - 1 + i )^2 + b( - 1 + i ) + 26 = 0 こりゃ大変だ!

 

【NG2】:こたろう君

のろちゃん、「代入法」しか知らないとこれからも苦労するよ。

まず、- 1 + i と共役な解が - 1 - i であるから、x = - 1 ± i で、

これと同値なのが、x^2 + 2x + 2 = 0 (この式を満たすのが x = - 1 ± i )である。

したがって、4次式 x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 は2次式 x^2 + 2x + 2 で割り切れる

ことが分かる。筆算でやると・・・やれなくもないけど計算が少々大変だな!(原始的)

                          x^2 + ( a - 2 )x + ・・・

                                   ―――――――――――――――――――

          x^2 + 2x + 2 )   x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26

                                      x^4 + 2x^3 + 2x^2

                                  ―――――――――――――――――――

                                       ( a - 2 )x^3 + x^2 + bx

                                       ( a - 2 )x^3 + 2( a - 2 )x^2 + 2( a - 2 )x

                                 ―――――――――――――――――――   断念!

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

こたろう君も間違いではないけれども、のろちゃんのことを言えないですね。

x = - 1 ± i ⇔ x^2 + 2x + 2 = 0 より4次式 x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 は2次式 x^2 + 2x + 2 ともう1つの2次式で割切れる。実数pを用いて、

x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 = ( x^2 + 2x + 2 ) ( x^2 + px + 13 ) が成立する。

この右辺は、 x^4 + ( p + 2 )x^3 + ( 2p + 15 )x^2 + ( 2p + 16 )x + 26 となり、

左辺と係数比較から、a = p+2 , 3 = 2p + 15 ,  b = 2p + 26 (←簡単な連立方程式!)

これを解いて、p = - 6 , a = - 4 , b = 14《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

( 4次式 ) = ( 2次式 ) × ( 2次式 ) が極めて有効なアプローチとなるときがある。

ちなみに本問の方程式の4解は x = - 1 ± i , 3 ± 2i である。

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