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解答・解説

【ＮＧ１】：のろちゃん

前回と同様に － 1 + i を方程式に代入できるから、

( － 1 + i )^4 + a( － 1 + i )^3 + 3( － 1 + i )^2 + b( － 1 + i ) + 26 = 0 こりゃ大変だ！



【ＮＧ２】：こたろう君

のろちゃん、「代入法」しか知らないとこれからも苦労するよ。

まず、－ 1 + i と共役な解が － 1 － i であるから、x = － 1 ± i で、

これと同値なのが、x^2 + 2x + 2 = 0 （この式を満たすのが x = － 1 ± i ）である。

したがって、4次式 x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 は2次式 x^2 + 2x + 2 で割り切れる

ことが分かる。筆算でやると・・・やれなくもないけど計算が少々大変だな！（原始的）

　　　　　 x^2 + ( a － 2 )x + ・・・

―――――――――――――――――――

x^2 + 2x + 2　) x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26

x^4 + 2x^3 + 2x^2

―――――――――――――――――――

( a － 2 )x^3 + x^2 + bx

( a － 2 )x^3 + 2( a － 2 )x^2 + 2( a － 2 )x

――――――――――――――――――― 断念！



【ベストアンサー】：もんじゅ先生

こたろう君も間違いではないけれども、のろちゃんのことを言えないですね。

x = － 1 ± i ⇔ x^2 + 2x + 2 = 0 より4次式 x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 は2次式 x^2 + 2x + 2 ともう1つの2次式で割切れる。実数pを用いて、

x^4 + ax^3 + 3x^2 + bx + 26 = ( x^2 + 2x + 2 ) ( x^2 + px + 13 ) が成立する。

この右辺は、 x^4 + ( p + 2 )x^3 + ( 2p + 15 )x^2 + ( 2p + 16 )x + 26 となり、

左辺と係数比較から、a = p+2 , 3 = 2p + 15 , b = 2p + 26 （←簡単な連立方程式！）

これを解いて、p = － 6 , a = － 4 , b = 14《答》



＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

( 4次式 ) ＝ ( 2次式 ) × ( 2次式 ) が極めて有効なアプローチとなるときがある。

ちなみに本問の方程式の4解は x = － 1 ± i , 3 ± 2i である。