高校数学の落とし穴（基礎編）第３８回

高校生がよくやってしまうＮＧ解法と、正しい解法（または効率の良い解法）を紹介していきます。

 

★★☆　《レベル２》

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問　2次方程式 x^2 － 2px + 2p^2 － 6 = 0 の解がすべて負であるときの実数p

の範囲を求めよ。

※ x^2 は「xの2乗」です。

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＜解答または解答方針＞

【ＮＧ】：のろちゃん

解の公式より x = p ± √ ( －p^2 + 6 )

解は正だから p ± √ ( －p^2 + 6 ) > 0

・・・こういう式、なんか計算ミスしそう！

 

【ベストアンサー】：こたろう君

のろちゃん、もっとスマートに解けないと（実数条件も忘れているし～～）。

[Ⅰ] 判別式をDとおくとD ≧ 0 より D/4 = p^2 － ( 2p^2 － 6 ) ≧ 0

∴ p^2 － 6 ≦ 0 ⇔ －√6 ≦ p ≦ √6 ・・・①

[Ⅱ] ２つの解をα, βとおくと、解と係数の関係より

α+β = 2p < 0　　∴ p < 0 ・・・②

αβ = 2p^2 － 6　　∴ p<－√3 , √3 < p ・・・③

以上[Ⅰ][Ⅱ]から ①, ②, ③ の共通範囲を求めると －√6 ≦ p < －√3《答》

 

【・・・】：もんじゅ先生

出番無しです。

 

＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

別解（方針）を紹介します。

与式の左辺をf(x)とおく。ここでまず、

放物線 y = f(x) は下に凸であることと、この軸の方程式が x = p であることもポイント

です。このことを踏まえて、

[Ⅰ] 判別式による条件

[Ⅱ] y = f(x) の軸の条件

[Ⅲ] y = f(x) の端点の条件

をすべて満たすようなpについて考えます。因みに本問では、

[Ⅰ] が D ≧ 0 で①と一致．

[Ⅱ] が p > 0 で②と一致．

[Ⅲ] が f(0) > 0 から③と一致．

となり①～③の共通範囲が求めるpの条件となります。

（ただし、問題によってはこの方法だとベストアンサーとならない場合があります。）