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解答・解説

※ a^2 は「aの2乗」です。

【ＮＧ】：のろちゃん

角が C = 180°－ (135°+ 30°) = 15° だから直接sinCは求められない。

「正弦定理」だけ覚えてるから、△ABCの外接円の半径をR( >0 )とおくと

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

c / sinC = a / sinA の部分から、c / sinC = 4 / sin135°= 4 / (1/√2) = 4√2

（ c / sinC = b / sinB から、c / sinC = 2√2 / sin30°= 2√2 / (1/2) = 4√2 でもOK ）

残念、辺cが分かれば・・。



【正解】：こたろう君

のろちゃん、「余弦定理」を覚えてないのか。

a^2 = b^2 + c^2 － 2bc cosA より、

　　　　　　4^2 = (2√2)^2 + c^2 － 2・2√2・c cos135° ← cos135°= －1 / √2

　　　 　⇔ 16 = 8 + c^2 + 4c

　　　⇔ c^2 + 4c － 8 = 0 c > 0 より、c = －2 + 2√3

（ b^2 = c^2 + a^2－ 2ca cosA からでもOKだが、最後 c^2 － 4√3c + 8 = 0 から

A > B > C で a > b > c に注意して c = 2√3 － 2 を得る。c = 2√3 + 2 は不適。）

正弦定理より、(2√3 － 2) / sinC = 2√2 / sin30°

∴ sinC = (2√3 － 2)・1 / 2・1 / (2√2) = (√6 － √2) / 4《答》



【ベストアンサー】：もんじゅ先生

こたろう君の余弦定理は第２余弦定理だな。「第１余弦定理」を使うと早いよ。すなわち、

　　　　　c = b cosA + a cosB より、

c = 2√2 cos135°+ 4 cos30°

　　　　　　= 2√2(－1 / √2) + 4(√3 / 2) = －2 + 2√3

正弦定理より、(2√3 － 2) / sinC = 2√2 / sin30°

∴ sinC = (2√3 － 2)・1 / 2・1 / (2√2) = (√6 － √2) / 4《答》



＞＞＞　一言アドバイ　＜＜＜

「第１余弦定理」は２角挟辺に注目するが、その２角が有名角で、挟辺（求めたい長さ）の対角が有名角ではないときに有効である。