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解答・解説

ＮＧ１】：のろちゃん

まず（１）は２次方程式 f(x) = 0 の判別式をDとすると符号が、（＊）の不等式と同じに

して D > 0 のときである。



【ＮＧ２】：こたろう君

（１）は f(x) = x^2 － 2ax + 4a とおくと、y = f(x) のグラフは下に凸の放物線だから、

これが常に y > 0 であるようにするにはx軸と共有点を持たなければよい（グラフ全体

がx軸の上側にある）。よって、f(x) = 0 の判別式Dが、D < 0 のときであるから、

D/4 = a^2 － 4a = a(a－4) < 0　　　∴ a < 0，4 < a 《答》

（２）も同じでしょ。やはり判別式Dを使う！？



【ベストアンサー】：もんじゅ先生

こたろう君、（１）は正解ですが、（２）は駄目です。判別式Dは必要ありません。

（２）まず、この下に凸の放物線 y = f(x) の軸の方程式は x = a です。（重要！）

このグラフは x ≦ a の範囲で単調減少し、a ≦ x の範囲で単調増加するのでその増減の境界である直線 x = a が定義域 0≦x≦3 の、（ⅰ）左側にあるとき : a ≦ 0、（ⅱ）間

にあるとき : 0 ≦ a ≦ 3、（ⅲ）右側にあるとき : 3 ≦ a で最小値が変わる。

このことを踏まえると各場合で、（最小値）> 0 であれば、0≦x≦3 において不等式（＊）

が常に成り立ちます。すなわちそのようなaの範囲を求めるには、

（ⅰ）a ≦ 0 のとき（最小値）= f(0) = 4a > 0 これはa ≦ 0 を満たさない。

（ⅱ）0 ≦ a ≦ 3 のとき（最小値）= f(a) = －a^2 + 4a > 0 ∴ a(a－4) < 0

∴ 0 < a < 4 これと0 ≦ a ≦ 3 の共通範囲は 0 ≦ a < 3 ・・・①

（ⅲ）3 ≦ a のとき（最小値）= f(3) = 9－2a > 0 ∴ a < 9/2 これと3 ≦ a の共通範囲

は 3 ≦ a < 9/2 ・・・②

以上（ⅰ）～（ⅲ）より、求めるものは①と②の和集合となり 0 < a < 9/2 《答》



＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

場合分けごとには「なし」、①、②を導くことが大切です（共通範囲）。さらにこれらは同時に起こりえない場合（俳反事象）ですから、最後に和集合で答えます。