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高校数学の落とし穴(基礎編)第14回

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。
★★☆ 《レベル2》
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問 △ABCにおいて、A = 135°、B = 30°、a = 4、b = 2√2 のとき、sinCの
値を求めよ。
※「√」については、例えば √4 = 2、√(4-2) = √2、√4-2 = 2-2 = 0 とする。
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解答・解説
※ a^2 は「aの2乗」です。
【NG】:のろちゃん
角が C = 180°- (135°+ 30°) = 15° だから直接sinCは求められない。
「正弦定理」だけ覚えてるから、△ABCの外接円の半径をR( >0 )とおくと
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
c / sinC = a / sinA の部分から、c / sinC = 4 / sin135°= 4 / (1/√2) = 4√2
( c / sinC = b / sinB から、c / sinC = 2√2 / sin30°= 2√2 / (1/2) = 4√2 でもOK )
残念、辺cが分かれば・・。
【正解】:こたろう君
のろちゃん、「余弦定理」を覚えてないのか。
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA より、
4^2 = (2√2)^2 + c^2 - 2・2√2・c cos135° ← cos135°= -1 / √2
⇔ 16 = 8 + c^2 + 4c
⇔ c^2 + 4c - 8 = 0 c > 0 より、c = -2 + 2√3
( b^2 = c^2 + a^2- 2ca cosA からでもOKだが、最後 c^2 - 4√3c + 8 = 0 から
A > B > C で a > b > c に注意して c = 2√3 - 2 を得る。c = 2√3 + 2 は不適。)
正弦定理より、(2√3 - 2) / sinC = 2√2 / sin30°
∴ sinC = (2√3 - 2)・1 / 2・1 / (2√2) = (√6 - √2) / 4《答》
【ベストアンサー】:もんじゅ先生
こたろう君の余弦定理は第2余弦定理だな。「第1余弦定理」を使うと早いよ。すなわち、
c = b cosA + a cosB より、
c = 2√2 cos135°+ 4 cos30°
= 2√2(-1 / √2) + 4(√3 / 2) = -2 + 2√3
正弦定理より、(2√3 - 2) / sinC = 2√2 / sin30°
∴ sinC = (2√3 - 2)・1 / 2・1 / (2√2) = (√6 - √2) / 4《答》
>>> 一言アドバイ <<<
「第1余弦定理」は2角挟辺に注目するが、その2角が有名角で、挟辺(求めたい長さ)の対角が有名角ではないときに有効である。

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