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高校数学の落とし穴(基礎編)第15回

2015年11月13日

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 △ABCにおいて、sinA : sinB : sinC = 6 : 5 : 3、面積が8√14であるとき3辺

の長さ a、b、c の値を求めよ。

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<解答または解答方針>

※ 記号について

「^」については、例えば、x^2 を「xの2乗」とする。

「√」については、例えば、√4 = 2、√(4-2) = √2、√4-2 = 2-2 = 0 とする。

 

【NG】:のろちゃん

たぶん a : b : c = 6 : 5 : 3 だろう!

辺の長さを a = 6k、b = 5k、c = 3k とおいて

余弦定理より cosB = { (6k)^2 + (3k)^2 - (5k)^2 } / 2・6k・3k

分子分母でkは約分できそうだけど、それから面積8√14をどう考えるか・・。

 

【正解】:こたろう君

のろちゃん、はじめからちゃんとやろうよ。△ABCにおける外接円の半径をR( >0 )と

おいて正弦定理よりa / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

これから a = 2RsinA、b = 2RsinB、c = 2RsinC

さらに a : b : c = 2RsinA = 2RsinB = 2RsinC = sinA : sinB : sinC = 6 : 5 : 3

ここで a = 6k、b = 5k、c = 3k とおく( k > 0 )。

余弦定理より cosB = { (6k)^2 + (3k)^2 - (5k)^2 } / 2・6k・3k

                  = 20k^2 / 36k^2 = 5 / 9

面積公式で8√14より

( 1 / 2 )・c・a sinB = ( 1 / 2 )・3k・6k √{ 1-( 5 / 9 )^2 } = 8√14

∴ 2√14 k^2 = 8√14  ∴ k^2 = 4   k > 0 より k = 2

したがって求めるものは a = 12、b = 10、c = 6《答》

 

【・・・】:もんじゅ先生

出番無しです。

 

>>> 一言アドバイ <<<

(ⅰ)自分で置いた文字は定義しましょう。本問では

「外接円の半径のR( >0 )」と、「3辺の長さを a = 6k、b = 5k、c = 3k とおいたときのk( >0 )」です。

(ⅱ)△ABCの面積公式は覚えましょう。S = ( 1/2 )・a・b sinC など。

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