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高校数学の落とし穴(基礎編)第22回

2016年1月22日

 

黒板 小

高校生がよくやってしまうNG解法と、正しい解法(または効率の良い解法)を紹介していきます。

 

★★☆ 《レベル2》

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問 m、nを整数とする。積mnが3の倍数ならばm、nの少なくとも1つは3の

倍数である。このことを命題の対偶を利用して証明せよ。

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<解答または解答方針>

※ 記号¬p は「pの否定」とします。

【NG】:のろちゃん

命題 p ⇒ q に対する対偶は ¬q ⇒ ¬p より、

m、nがともに3の倍数でないならば、積mnは3の倍数でない。

整数k、lを用いて、

m = 3k + 1、n = 3l + 1 のとき

mn = ( 3k + 1 )( 3l + 1 ) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3( 3kl + k + l ) + 1

《証明終わり》

 

【正解】:こたろう君

のろちゃんにしては、頑張ったけど~場合分けして全部で4通りやらないとね!

(対偶の後のつづきから)整数k、lを用いて、

(ⅰ)m = 3k + 1、n = 3l + 1 のとき

mn = ( 3k + 1 )( 3l + 1 ) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3( 3kl + k + l ) + 1

(ⅱ)m = 3k + 1、n = 3l + 2 のとき

mn = ( 3k + 1 )( 3l + 2 ) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3( 3kl + 2k + l ) + 2

(ⅲ)m = 3k + 2、n = 3l + 1 のとき

mn = ( 3k + 2 )( 3l + 1 ) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3( 3kl + k + 2l ) + 2

(ⅳ)m = 3k + 2、n = 3l + 2 のとき

mn = ( 3k + 2 )( 3l + 2 ) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 3( 3kl + 2k + 2l + 1 ) + 1

以上(ⅰ)~(ⅳ)から、積mnは3の倍数でない。 ∴ 対偶が真より命題も真《答》

 

【ベストアンサー】:もんじゅ先生

(対偶の後のつづきから)合同式mod3において

(ⅰ)m≡1、n≡1のとき、mn≡1

(ⅱ)m≡1、n≡2のとき、mn≡2

(ⅲ)m≡2、n≡1のとき、mn≡2

(ⅳ)m≡2、n≡2のとき、mn≡4≡1

以上(ⅰ)~(ⅳ)から、積mnは3の倍数でない。 ∴ 対偶が真より命題も真《答》

 

>>> 一言アドバイス <<<

「負の余り」を用いても良い。例:n = 3l + 2 を n = 3l -1や、n≡2 を n≡-1でも良い。

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