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解答・解説

※ 記号￢p は「pの否定」とします。

【ＮＧ】：のろちゃん

命題 p ⇒ q に対する対偶は ￢q ⇒ ￢p より、

m、nがともに3の倍数でないならば、積mnは3の倍数でない。

整数k、lを用いて、

m = 3k + 1、n = 3l + 1 のとき

mn = ( 3k + 1 )( 3l + 1 ) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3( 3kl + k + l ) + 1

《証明終わり》



【正解】：こたろう君

のろちゃんにしては、頑張ったけど～場合分けして全部で４通りやらないとね！

（対偶の後のつづきから）整数k、lを用いて、

（ⅰ）m = 3k + 1、n = 3l + 1 のとき

mn = ( 3k + 1 )( 3l + 1 ) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3( 3kl + k + l ) + 1

（ⅱ）m = 3k + 1、n = 3l + 2 のとき

mn = ( 3k + 1 )( 3l + 2 ) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3( 3kl + 2k + l ) + 2

（ⅲ）m = 3k + 2、n = 3l + 1 のとき

mn = ( 3k + 2 )( 3l + 1 ) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3( 3kl + k + 2l ) + 2

（ⅳ）m = 3k + 2、n = 3l + 2 のとき

mn = ( 3k + 2 )( 3l + 2 ) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 3( 3kl + 2k + 2l + 1 ) + 1

以上（ⅰ）～（ⅳ）から、積mnは3の倍数でない。 ∴ 対偶が真より命題も真《答》



【ベストアンサー】：もんじゅ先生

（対偶の後のつづきから）合同式mod3において

（ⅰ）m≡1、n≡1のとき、mn≡1

（ⅱ）m≡1、n≡2のとき、mn≡2

（ⅲ）m≡2、n≡1のとき、mn≡2

（ⅳ）m≡2、n≡2のとき、mn≡4≡1

以上（ⅰ）～（ⅳ）から、積mnは3の倍数でない。 ∴ 対偶が真より命題も真《答》



＞＞＞　一言アドバイス　＜＜＜

「負の余り」を用いても良い。例：n = 3l + 2 を n = 3l －1や、n≡2 を n≡－1でも良い。